[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Итак,
рассмотрим возмущение гармонического осциллятора,
линейное возмущение гармонического осциллятора.
Итак, уравнение на вид очень простое — все то же самое будет + ω²x +,
а здесь некоторая функция f(t) × x = 0.
Если функция f(t) произвольна, то,
несмотря на то что эта система не самого общего положение, все равно решение,
точное решение для произвольной f(t) написать нельзя.
Мы рассмотрим теорию возмущений по вот этой f, считая ее маленькой.
Первым делом мы перейдем к переменным a и a*.
Тогда легко проверить то,
что вот это вот уравнение для a и a*,
которые являются найденными нами ранее линейными комбинациями x и p,
то есть x и x с точкой, имеет вид: d
/ dt (a
a*) = — скобка открывается.
Значит, невозмущенная часть — мы с вами ее нашли уже.
И возмущение в этом базисе, то есть уже
для переменных a и a*, имеет следующий вид.
[ШУМ] [ШУМ]
[ШУМ]
Значит, если
сравнивать наши предыдущие формулы,
вот это вот наша матрица m, которая в данном базисе уже тривиальна.
А вот это вот вся штука есть то самое наше возмущение V(t).
Поэтому оператор эволюции нужно записать в следующем виде.
Сейчас давайте его вычислим.
Значит, наш оператор U(t) = U0(t)
— это невозмущенный — + δ U(t),
где U0 — это
невозмущенная эволюция.
[ШУМ] [ШУМ]
А δU определяем согласно нашей формуле.
δU = i / 2ω
— это здесь мы — ∫
от 0 до t f(τ).
[ШУМ] Давайте,
значит, давайте я не буду целиком эту матрицу расписывать,
напишу так: U0 −1-е (τ)
— здесь вот эта вот наша матрица — (1 1
−1 −1)U0.
Здесь, значит,
давайте здесь +1-е: U0 −1-e
(τ) и
U0(t).
Теперь явно вычислим вот это вот матричное произведение.
[ШУМ] =
[ШУМ]
[ШУМ]
[ШУМ] Здесь
будет у нас 1,
[ШУМ] здесь
у нас будет e в степени 2iωτ,
здесь будет −e в степени
−2iωτ, а здесь будет
−1 умножить на
оператор свободной эволюции.
Собственно, на этом можно было бы остановиться,
но на самом деле история здесь только начинается.
Если бы малые поправки приводили к малым возмущениям решения,
малое возмущение в уравнении приводили бы к малым возмущениям решения,
незачем было бы вообще писать многочисленные книги
про динамические системы.
Еще в XVIII веке, в конце XVIII века Лаплас изучал
Солнечную систему.
Законы Ньютона были известны,
были известны невозмущенные орбиты — это эллипсы.
И Лаплас задался вопросом, как влияют планеты друг на друга.
Возмущение движения слабое, и поэтому, как он совершенно справедливо решил,
их можно учитывать как малые поправки в уравнении и,
соответственно, можно искать малые поправки к решениям.
И он обнаружил, что не всегда малая поправка в
уравнении приводит к малому возмущению решения,
если времена, на которые мы смотрим, достаточно велики.
Давайте рассмотрим сейчас самый простой случай: пусть f(t) — просто константа.
Итак, первый пример,
когда все не так просто.
Если f(t) константа — давайте я здесь напишу.
Пусть f(t) = ε.
Тогда, глядя на это выражение,
мы видим просто интеграл от матрицы — это просто интеграл,
значит, матрица с интегралом от каждого матричного элемента.
Интегралы от экспонент будут экспонентами,
и ничего с ними с ростом t происходить не будет.
Интеграл же от 1, которые здесь возникают,
будет пропорционален времени t.
То есть если время t достаточно велико,
то это выражение может быть переписано следующим образом.
Итак, δU (t) ≈.
Итак, f = ε.
t велико, поэтому то,
что не растет со временем, мы просто выкинем.
Там, где стоят единицы, мы видим то,
чо интеграл будет просто пропорционален времени, то есть будет расти со временем,
поэтому возмущение будет иметь следующий вид.
[ШУМ] Возмущение оператора эволюции будет иметь следующий вид.
[ШУМ] Я так напишу,
формально: t стремится к ∞.
И мы видим то,
что если εt станет достаточно большим,
то поправка перестанет быть малым возмущением.
Это явление называется секулярными членами, и с этим что-то нужно делать.
Это означает то, что, несмотря на то что возмущение мало,
его нельзя учитывать как возмущение на достаточно
больших временах — нужно как-то либо задачу решать точно.
Вот в этом случае мы знаем как бы точное решение.
Если f является константой, уравнение можно
переписать следующим образом: x с двумя
точками + Ω²x = 0,
где Ω — это просто −× √ω² + ε.
Решение этого уравнения на больших временах будет
линейной комбинацией экспонент ± iΩt,
то есть линейной комбинацией экспонент,
где вместо частоты стоит вот этот квадратный корень.
Если формально этот квадратный корень раскладывать по ε,
мы и заработаем растущие со временем члены.
То есть такого рода возмущение может быть учтено на всех временах переопределением
частоты, то есть перенумеровкой частоты, как еще говорят.
Но это очень простой случай возникновения секулярных членов или вековых членов.
Собственно, этот термин как раз Лаплас и ввел,
потому что возмущение в Солнечной системе, которую он изучал, он увидел,
что есть возмущение, которое медленно нарастает со временем.
Это медленно, для Солнечной системе это сотня лет — отсюда
слово «секулярное», вековое то есть, по-русски вековое,
secolo — это век по-итальянски или по-латыни.
Значит, на этом проблемы с секулярными членами даже в
этом простом случае не исчерпываются.
Менее тривиальный пример мы рассмотрим в следующей части лекции.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
Фоминов Яков ВикторовичДоцент
Фейгельман Михаил ВикторовичГлавный научный сотрудник
Колоколов Игорь ВалентиновичПрофессор
Бурмистров Игорь СергеевичПрофессор
Скворцов Михаил АндреевичПрофессор
