[ЗВУК] Итак, перед нами
стоит задача нахождения правильных собственных векторов нулевого приближения,
то есть в нулевом приближении
нам нужно найти коэффициенты.
Мы для этого будем брать Cn
в нулевом приближении, это будет Cn(0),
Cn' тоже будем брать в нулевом приближении, Cn'(0),
Cn'' — то же самое,
[ЗВУК] Вот.
Ну а все Ck, когда k ≠ n будем брать равными нулю.
То есть если k не внутри вырожденного уровня,
то есть k не равно n, n', n'' и так далее.
Вот.
Это в нулевом приближении.
Теперь, хотя, возможно, эта задача как-то звучит сложно,
на самом деле технически все делается довольно просто.
Опять же надо брать наше уравнение в желтой рамочке, все из него получается.
Давайте мы напишем вот это уравнение в желтой рамочке в первом порядке
теории возмущений.
В первом порядке теории возмущений мы должны тогда сделать следующее.
Вот смотрите, раз у нас речь идет про наш вырожденный уровень,
то вот эта вот первая скобка в нулевом приближении всегда будет давать ноль,
потому что у нас берутся разности между двумя E,
которые соответствуют на самом деле одному и тому же уровню.
Поэтому здесь всегда будет получаться ноль,
и отсюда будет только первый порядок возникать.
А с другой стороны, в правой части у нас есть буква V,
которая обеспечивает первый порядок.
Поэтому получается, что если речь идет про вырожденный уровень, то у нас из этой
скобки обязательно идет первый порядок, ну и из буквы V всегда идет первый порядок.
Таким образом,
в первом порядке теории возмущений нам надо брать C здесь в нулевом порядке.
Давайте мы это и проделаем, и мы такое проделаем для k,
вот в этой формуле мы возьмем k, которые равны n,
n', n'' и так далее.
То есть k пройдут по номерам внутри нашего вырожденного уровня.
Именно поэтому эта скобка в нулевом порядке будет обращаться в ноль.
И здесь будет, соответственно, s таких соотношений.
Соотношения будут иметь следующий вид.
Нам надо здесь оставлять первый порядок.
Я поэтому пишу здесь E(1),
а Ck я беру,
скажем, первое возможное значение — Cn в нулевом порядке.
И это должно быть равно сумме, а сумма идет внутри вырожденного уровня,
поскольку только там у нас C в нулевом порядке, отличное от нуля.
И я, чтобы это было нагляднее, запишу эту сумму не по букве m, а по букве n',
то есть чтобы подчеркнуть, что сумма бежит внутри вырожденного уровня.
Здесь я тогда получаю Vnn'
Cn'(0).
Такое я получил уравнение, давайте я его чуть-чуть перепишу,
Я хочу все записать в виде единой суммы, вот эту левую часть перенести направо.
И чтобы ее записать в виде суммы, я сюда добавлю символ Кронекера.
Поэтому получу (Vnn' − E(1)
δnn') *
* Cn'(0) равно нулю.
Вот такое вот уравнение я получил в первом порядке теории
возмущений для вырожденного уровня.
Теперь это написано уравнение для n, а дальше надо для n', n'' и так далее.
То есть у меня есть s таких уравнений.
То есть, в целом, легко понять, что это есть не что иное,
как просто матричное уравнение.
Матричное уравнение на вектор,
который имеет такой вид: Cn,
Cn', Cn'' в нулевом порядке.
Вот.
И чтобы это уравнение
матричное имело нетривиальное решение относительно этих коэффициентов,
мне необходимо, чтобы детерминант был равен нулю.
Поэтому я получаю уравнение, которое является ключевым в вырожденном случае.
Это уравнение следующее.
Детерминант матрицы
[Vnn' − E(1)
δnn'] равен нулю.
Это называется «секулярное уравнение»,
[ЗВУК]
[ЗВУК] и
из него определяются поправки первого
порядка к собственному значению матрицы.
Это уравнение, если мы детерминант раскроем,
то это будет уравнение полиномиальное, размер матрицы здесь s x s,
то есть он определяется кратностью вырождения уровня.
Ну и, соответственно, E(1) будет входить в степени s,
и поэтому у этого полиномиального уравнения будет s корней.
Вот. Однако же эти корни необязательно все
различны.
Они могут быть все различны, а могут частично совпадать.
Поэтому может иметь место то, что называется «снятие вырождения».
То есть у нас исходно был s-кратно вырожденный уровень, давайте я это
как-нибудь изображу и припишу к нему букву s,
это подчеркивает его кратность вырождения, а дальше он может расщепиться.
Вот так вот я условно нарисую.
Я говорю «уровень» или «собственное значение» — это в данном случае синонимы.
Просто если иметь в виду физическую задачу, то там это могут быть уровни
энергии, ну с точки зрения линейной алгебры это собственные значение.
Вот у нас есть s-кратно вырожденное собственное значение,
оно может расщепиться.
При этом может получиться так, что у всех этих собственных
значений кратность вырождения уже равна единице, а может быть как-то хитрее.
Может быть здесь, например, кратность вырождения единице равна, а здесь,
например, тройке.
А здесь двойке, а здесь единице.
То есть тогда мы говорим, что есть частичное снятие вырождения.
[ЗВУК]
[ЗВУК] Но может
быть оно и полным.
Вот. Это то, к чему может приводить теория
возмущений для вырожденного собственного значения.
Ну и остается сказать что?
Остается сказать, что теперь,
когда мы нашли вот эти поправки первого порядка к собственным значениям,
мы должны вернуться к этому матричному уравнению,
по очереди подставить сюда все s разных собственных
значений и найти s разных правильных наборов коэффициентов.
То есть у нас будет s собственных значений, s наборов коэффициентов,
поэтому мы сможем составить s правильных собственных векторов нулевого приближения.
Вот так решается вопрос о правильных векторах нулевого приближения,
ну а по пути, решая этот вопрос,
мы заодно нашли поправки первого порядка к собственному значению.
[ЗВУК]
[ЗВУК]
Фоминов Яков ВикторовичДоцент
Фейгельман Михаил ВикторовичГлавный научный сотрудник
Колоколов Игорь ВалентиновичПрофессор
Бурмистров Игорь СергеевичПрофессор
Скворцов Михаил АндреевичПрофессор
