[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Далее
рассмотрим несколько классических распределений случайных величин.
Начнем с рассмотрения дискретных распределений, перейдем к непрерывным,
и закончим, возможно, самым важным распределением в теории вероятности и
матстатистики, которое называется нормальным распределением.
Пусть проведено n экспериментов с двумя исходами.
При это вероятность успеха равна p, а вероятность неудачи q = 1 − p.
Пусть случайная величина x = k,
если у нас среди n экспериментов было ровно k успехов.
В этом случае мы имеем дело с биномиальным распределением.
Вероятность каждого значения случайной величины для такого распределения
определяется формулой Бернулли, которую вы можете видеть на слайде.
Математическое ожидание этого распределения равно n *
p дисперсия n * p * q.
Пусть, как и раньше, у нас имеется n экспериментов с двумя исходами,
вероятность успеха равна p, вероятность неудачи равна q,
но случайная величина в данном случае равна k, если k − 1 первый
эксперимент прошел с неудачей и на k-й раз был успех, тогда распределение случайной
величины представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q.
Математическое ожидание такого распределения равно 1 / p,
дисперсия такого распределения равно q / p².
Пусть у нас имеется N предметов,
среди которых ровно K обладают заданным свойством.
Мы выбираем n предметов из N и случайная величина X имеет значение k,
если ровно k предметов из n обладают заданным свойством.
Распределение для случайной величины, определенной подобным образом,
называется гипергеометрическим.
Формулой для вероятности каждого возможного значения этой случайной
величины математического ожидания и дисперсии вы можете видеть на слайде.
Теперь поговорим про некоторые виды непрерывных распределений случайных
величин.
Самым простым непрерывным распределением является равномерное распределение.
Таким распределением обладает случайная величина,
которая принимает константное значение на заданном отрезке ab.
Плотность распределения равномерно распределенной случайной величины равна
1/(b − a) для любого значения x из отрезка ab и 0 во всех остальных точках.
Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины равно (b
− a) / 2, и дисперсия равномерно распределенной случайной
величины равно (b− a)² / 12.
Говорят, что случайная величина имеет показательное распределение,
если плотность ее распределения имеет вид λ * e в степени −λx.
Такое распределение является своего рода аналогом
геометрического распределения для непрерывных случайных величин.
Математическое ожидание показательного распределения равно 1 / λ.
дисперсия равно 1 / λ².
Случайная величина имеет нормальное распределение или, иначе говоря,
распределение Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид функции Гаусса,
то есть 1 / σ√2π * e в степени −(x − μ)² / 2σ².
Функция распределения такой случайной величины определяется
через интеграл функции Гаусса.
Математическое ожидание нормального распределения равно μ,
а дисперсия равна σ², которые приведены в формуле.
Нормальное распределение называют стандартным или нормированным,
если μ = 0, а σ = 1.
В этом случае плотность распределения и функция распределения принимают вид,
приведенный на слайде.
Замечательным свойством является то,
что нормальное распределение для любых μ и σ может быть выражено
через стандартное нормальное распределение с помощью соответствующей замены,
при этом μ указывает, насколько график функции будет сдвинут по оси x,
и называется коэффициентом смещения, а σ показывает,
насколько график будет растянут, и называется коэффициентом масштаба.
Нормальное распределение часто встречается при исследовании физических процессов.
Например, величина отклонения при стрельбе имеет нормально распределение.
Одним из замечательных свойств нормального распределения является правило трех сигм,
оно гласит, что почти все значения случайной величины лежат в пределах
±3 среднеквадратичных отклонений от математического
ожидания этой случайно величины.
Нормальное распределение занимает особое место в статистике.
Его важность подчеркивает центральная предельная теорема, которую
можно сформулировать следующим образом: если случайная величина представляет собой
сумму достаточно большого числа одинаково распределенных случайных величин,
влияние каждой из которых на сумму мало,
то x имеет распределение, близкое к нормальному.
Даже если зависимость между случайными величинами имеется,
но их число достаточно велико, стремление к нормальному распределению сохраняется.
