物理學是描述世上質量與能量交互作用的學問，在這門課中我們將為大家介紹近代物理對於世界的認識。我們會從電磁學出發，進展到光學，並進而說明近代物理對人類觀念的突破。
7-2 普朗克的大膽猜測
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来自 National Taiwan University 的课程
普通物理學-電磁學、光學及近代物理 (General Physics (1))
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从本节课中
Week 7 量子的概念
第七講的主題則是「量子力學」，和相對論一起，構成所謂近代物理學的基石。很巧的是，量子力學的誕生，也和光的量測有很大的關係，包括黑體輻射和光電效應。
我們會先從說明何謂黑體輻射開始，讓大家理解二十世紀初物理學天空中的另一朵烏雲，並讓大家看到再一次看到科學家是如何先猜出完全違反直覺的答案，再慢慢透過各種實驗證明猜想的正確。在量子力學的世界中，我們將會介紹三個主要的概念，一是能量不連續，二是物質同時具有波動與粒子特性，三是測不準原理。最後並稍微簡單介紹目前我們對原子結構的理解。
与讲师见面
朱士維教授 (Professor)
物理學系 (Physics)
[空白_錄音] 大家好。
所以我們現在要進入這一講的第二節，那麼在前一節裡面呢，跟各位介紹了 在二十世紀的初期呢，為了解釋黑體輻射，當時的物理學家
遭遇非常非常大的困難，從古典的熱力學，從古典的電磁學出發 都不知道該怎麼辦。
這一節，那麼我們要為各位介紹 另外一位非常重要的物理學家普朗克，他在這個關鍵的時刻呢
很大膽地做了一個猜測，而解決了這個爭議
那麼他的猜測的核心就是，他告訴大家說，或許能量是不連續的，所以我們跟各位介紹一- 下普朗克 到底猜了什麼東西。
那麼我們在前一節跟各位說，根據熱力學 還有電磁學提出了兩個理論模型，一個是維恩的猜測
那麼這個是在短波長很吻合，但在長波長有問題 另外一個呢，則是瑞利
• 金斯的猜測，那麼這個呢 是在長波長好像 match 得不錯，但在短波長呢，就完全地不符合
所以呢，這兩個模型呢，都各自遇到各自的問題，可是呢這兩個模型都是從古典的物理學出發的
所以，它們沒辦法解釋黑體輻射的情況呢，就表示古典的物理學是不是有什麼東西還沒有想清楚 還需要再修改的地方呢。
那麼德國物理學家普朗克呢，他在 1900
年的時候呢 提出了另外一個新的模型，那麼他的想法是把黑體輻射呢，想象成一個空腔
那麼這個空腔裡面呢，上面的每個點，都把它想成一個小小的彈簧
可以被光激發的，那麼這個每個彈簧上面呢，都黏著一個帶電的粒子
所以呢，因為這個彈簧被光激發的時候呢，這個帶電粒子就會振動，那麼這些振動的帶電粒子- 又會同時輻射出
新的電磁波來，這個就是他的黑體輻射的想象。
那麼這個部分 都是跟古典的電磁學是一致的，可是普朗克最主要的
重要的假設是，他發現，如果他假設這些振蕩只能在某個特定的
能量狀態下面振動，而且這些特定的能量狀態呢，都是由某一個基本能量單位
的整數倍的話呢，他就可以從理論上得到一個新的模型，而這個新的模型呢 可以跟實驗上面量到的黑體輻射光譜完全一致。
那麼他的新的模型看起來，乍看之下 跟維恩猜測的非常地像，前半部是一樣的，那後半部這邊呢，變成一個 1
/ ( exponential hν/kT- 1 ) 這樣子的一個形式 那麼這個呢，形式來源呢就是用普朗克猜測，它的
黑體輻射裡面，放出來的能量呢，是不連續的 那麼這個不連續的概念就是，它所放出來的能量呢都只能是
hν 的整數倍這樣子，所以他的猜測項是這樣，他認為
物質，就是這個黑體輻射的這個材料，好像只能 一份一份地吸收能量，或是一份一份地放出能量
就是吸收和放出能量的時候呢，變成不是一個連續的單位，而是一個一份進來或一份出去 這樣子的一個情況。
那麼這裡面的每一個所謂的一份能量呢 普朗克的假設是，就是這些小小的共振子的頻率 乘上一個常數，這個
h，那麼常數呢，後來就成為普朗克常數 那麼這一個假設到底哪裡厲害呢，為什麼是一個
空無，前無古人後無來者的一個假設呢，我們現在回頭這樣子看 古典力學，在古典力學裡面呢，振蕩是完全
well-known 的東西 大家知道呢，這個特定的結構就像一個弦一樣，好像吉他弦，如果去撥動吉他弦的話呢，它會-
產生一個 共振的頻率，那麼你用不同的方式激發這條弦的話呢，它可以產生不同的共振頻率
所以在圖裡面也可以看到它有一個基倍，基頻的，最上面的頻率 然後中間是二倍頻，下面是三倍頻，有各種各樣倍頻的頻率
這些是古典物理都可以告訴你的事情，這些振蕩頻率呢都會是基頻的整數倍。
可是呢，古典的能量 概念在振動裡面，它指的是這些振蕩的振幅，而不是頻率，所以從振幅來看呢
如果我把激發振蕩的能量變成兩倍，這個，每一個振幅應該都變成原來的根號 2
倍 那麼如果我把激發能量變成原來一半的話呢，這裡面每一個振幅呢
都應該要變成原來的根號 2 分之 1，所以呢 這個也就是說在古典物理的世界裡面呢，振幅這件事情呢才是能量
那麼從振幅的角度來想呢，能量應該可以連續不斷地改變，就是我讓它改變多一點點或少一點點
都沒有關係，它可以連續不斷地改變，因此能量在古典物理的世界裡面呢應該是連續的 中間是沒有間隔的。
所以普朗克他所創造的新的概念就是，他為了要解釋
黑體輻射的光譜呢，他引入了一個新的假設，這個假設跟古典物理的假設是完全不一樣的，也-
就是說他認為，能量 在輻射這個概念上面，在光的這個概念上面，能量變成
不是振幅，而是這個振蕩子的頻率，成正比的一個量
因此能量變成一個不連續的分佈，也就是說我好像在某一個特定頻率振蕩的時候呢
它有一個一個，我們剛剛說一份一份的能量，每一份能量就是這個振蕩子的頻率乘上 h，乘上普朗克常數
這樣子是最小單位的一個能量，所以這個是跟古典物理非常非常不一樣的概念
那麼雖然我們在數學上呢，沒有非常仔細地推導出普朗克模型給各位看呢，但是我們希望讓- 各位看到
普朗克模型之所以會成功，是因為它跟前面講過的兩個古典物理推導出來的模型呢
分別在長波長和短波長是吻合的，然後整個結合起來呢是完全跟黑體輻射的波長是吻合的，所- 以我們來看看
維恩模型，我們剛剛前面講過，維恩模型 它是在短波長成立得很好，然後在長波長
有問題，所以呢，普朗克模型如果要對的話呢，在波長很短的時候呢
它應該要跟維恩模型一模一樣，這樣子呢才會符合前面的所有的一些假設 所以我們來看看在波長很短的時候呢會發生什麼事情。
下面這個方程式呢就是普朗克模型 然後在波長很短的時候呢，波長很短的意思就是
ν 很大，就是頻率非常高的意思，所以 hν 這個值呢 會比 kT，kT
就是一個 thermal energy，就是波茲曼常數乘上當時的溫度的一個
能量，所以呢當波長很短的時候呢 ν 很大，那我們可以想象 hν 這個能量呢就比
kT 大很多 這樣的情況，所以呢，在普朗克模型裡面的，它的後面這個式子呢
exponential 的 hν 除上 kT 呢
就可以變成一個好像是很大的一個數值，所以 減 1
的，這個減的部分就看起來好像沒看到一樣，所以這個時候呢就可以把 下面這個分母的地方呢，只剩下
exponential hν 除以 kT，那麼它是倒數嘛，所以在導數的指數裡面呢就是乘上一個負號
所以我們可以把，普朗克模型後半部呢，寫成一個 exponential 負的 kT
分之 hν 的形式，那麼呢，這樣的話呢我們就可以把原本的普朗克模型在波長很短的時候呢，把它寫成
另外一個樣子，那麼這個樣子呢，如果各位回去跟前一節比較的話呢，這個部分呢事實上就是- 維恩模型
所以呢我們可以看得出來，普朗克模型在波長很短的時候就會回到維恩模型，而維恩模型呢在- 波長短的時候 跟黑體輻射呢是 match 得非常漂亮的。
那麼在長波長的時候呢，就必須要考慮所謂的瑞利·金斯模型 我們前面有講過瑞利
• 金斯模型在長波長的時候呢，跟黑體輻射的
形狀，光譜的形狀是吻合得很好的，所以普朗克模型呢在長波長的時候應該也要 回復到瑞利 • 金斯模型，這樣子整個事情才會正確。
那我們來看看在波長很長的時候呢 現在這邊寫下的普朗克模型會變成什麼樣子，所以當波長很長的概念呢是頻率就很低
所以頻率很低的意思呢就是跟 kT 比起來很小，所以這個叫做波長很長，那麼波長很長的時候呢，普朗克模型 裡面這個
exponential 這一項，我們可以用一個泰勒展開式把 exponential kT 分之 hν
呢，近似成 1 + hν / kT，那麼後面的項呢，就是因為 hν
很小的話呢 後面的高次項我們就可以忽略掉，所以這樣子一看呢，我們可以把這個式子呢代進來
普朗克模型裡面，那麼我們稍微整理一下呢，就會知道呢 這個普朗克模型的後半部會剩下一個
kT / hν，然後再跟整個，前半部一起整理完之後呢就會得到這個
跟頻率平方成正比的一個式子，那麼這個跟頻率平方成正比的這個式子呢 完全就是前面講的瑞利
• 金斯模型，所以呢從這個地方可以看得出來，普朗克模型
在長波長的時候呢跟瑞利 • 金斯一樣，在短波長的時候呢跟維恩模型一樣
所以整體來說呢，普朗克模型是一個可以完整地解釋黑體輻射光譜的一個新的模型
但是，這一個新的模型 是奠基在一個非常奇怪的假設上面，也就是普朗克假設
有一個輻射波的能量的基本單位叫做 hν
那麼這件事情呢，事實上是有史以來可以說第一次有人提出來能量是以一個不連續
不可分割的形式出現，這個完全違反了古典物理在思考能量的一個基本概念，也就是說呢
古典物理學能量好像應該可以無限地分隔下去，就像我們前面講的振幅那樣的概念，那麼事實- 上呢，就連普朗克自己他在
提出這個非常新的概念的時候呢，他都感覺到非常地懷疑 所以在他 1900
年提出這個概念之後呢，大概有十年左右的時間 普朗克一直在試圖證明，他所用的這個假設 E =
hν 跟古典物理之間的概念應該是相容的 這個事情呢，就像是當年牛頓，在證明了地表的重力
跟天空的重力是一樣的之後呢，他後來事實上一直試圖用科學來證明上帝，也就是說常常會有- 一個新的理論
在誕生的時候呢，會讓大家覺得很不安，就連發現的人都會覺得很不安，因為這個跟古典的
部份是完全不一樣的，跟一般人講的是完全不一樣的 所以在新的理論的時候呢，常常會沒有辦法立刻脫離古典的理論
成為一個新的理論，這中間通常還有一個折衷的過程，不過普朗克在這個地方呢，最主要的 勇敢的地方是在於他提出了這個猜測，因為它能夠跟實驗 match
得非常好，所以他還是把這個猜測給提出來 雖然他自己都有點不太相信。
那麼一直到了後來 愛因斯坦從另外一個角度說出了 或許真的有一個不連續的光子能量
在愛因斯坦提出了另外一個說法之後呢，普朗克最後才承認，這個假設或許才真的是物理的真- 相，那麼
至於愛因斯坦到底提出了什麼證據呢，我們會在下一節為各位介紹 那麼在這個地方呢，我們要跟各位說明一下普朗克常數的數值的大小
是 6.63 乘以 10 的負 34 次，這是mks制，所以後面它的單位是 Joule per
second，那麼這個數值呢，我們在後面 在算光子的能量的時候，我們會常常用到它，所以
h 這個數值的大小呢，會需要各位呢稍微留意一下
那麼普朗克呢，後來也因為他提出了這個能量不連續的概念呢 而得到了
1918 年的諾貝爾物理獎，那麼這一個概念呢公認 是
20 世紀所謂的量子力學開宗明義的基礎概念，就是告訴大家能量
是不連續的，跟傳統的物理的想法是不一樣的。
那麼在最後呢，為各位 做一個簡單的計算，來看看根據普朗克的假設呢，能量
到底是多大，所以呢我們來算算看，如果有一個波長是 300 nm
的一個電磁波的量子，它所攜帶的能量到底有多少，那麼根據普朗克的看法呢 波長是
300 nm 的光的量子呢，它所攜帶的能量是 hν，那麼這個 ν
呢是頻率，所以呢就 相當於是光速除以波長，那麼我現在的定義呢是波長是
300 nm，所以呢 我們把這個光速除以波長的這個地方放在這裡，那麼 h 的大小呢是剛剛說的
6.63 乘以 10 的負 34 次 光速是 3 乘 10 的 8 次方，meter per
second，那麼波長呢 現在是 300 nm，就相當於 3 乘 10 的負 7
公尺，所以這些數字兜在一起呢 一個 300 nm 的光的量子呢，所攜帶的能量呢
相當於是 6.63 乘以 10 的負 19 焦耳，這個是個非常非常小的能量
所以呢在量子世界裡面呢，我們常常會用另外一個單位，叫做 electron volt ，電子伏特 那麼，簡寫就是
eV，這個通常是個更為好用的單位，一個 eV 的大小呢就是一個電子的電量乘上一伏特
的電位差，那麼這個也是個能量的單位，那麼因為電子的電量的大小呢，大概是 1.6
乘 10 的負 19 次方庫侖，所以呢 一個 electron 的電量乘上一伏特的電位差的大小就變成
1.6 乘 10 的負 19 焦耳 這個是 eV 的大小。
那我們可以看看剛剛這個 300 nm，它是一個紫外
呃，紫外的光的一個電磁波 它的量子的大小呢，能量的大小呢就可以翻譯成
eV 的大小，所以剛剛是 6.63 乘 10 的負 19 焦耳，我們把它除上 1.6
這會變成 eV 的單位，變成 4.14 electron volt，這個是常常用來表示
電磁波能量的一個單位，electron volt。
那麼最後呢，也留一個計算測驗給各位是 有了剛剛那個經驗之後，如果是一個
1 eV 的光子，那麼波長應該相當於哪一個呢？ [空白_錄音]
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