¿Por qué las grúas no se vuelcan al levantar grandes pesos? ¿por qué las mesas sólo necesitan tres patas (no alineadas) para apoyarse? Este curso te guiará paso a paso en los conocimientos básicos para entender el equilibrio de estructuras simples. Aprenderás conceptos básicos de las ecuaciones matemáticas que modelan las condiciones de equilibrio de partículas y de cuerpos rígidos. Además, también aprenderás conceptos como momento, que te ayudarán a entender fenómenos como el volcamiento de estructuras, y a identificar las fuerzas y momentos que actúan sobre un determinado cuerpo, mediante el concepto de diagrama de cuerpo libre. Todo esto te servirá para modelar estructuras simples pero realistas, identificar las distintas fuerzas que actúan sobre ellas, plantear las ecuaciones necesarias para que la estructura se encuentre en equilibrio, y determinar las reacciones de apoyo necesarias para tal condición. Cuando termines el curso serás capaz de generar idealizaciones de estructuras reales simples, identificar las distintas fuerzas y momentos que actúan sobre ella, y plantear y resolver las ecuaciones de equilibrio correspondientes.
Problemas 2D con momento
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Equilibrio, ¿por qué se caen las cosas?
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Momentos
En este módulo se define el concepto de momento, desde un punto de vista descriptivo y matemático.
与讲师见面
Christian LedezmaProfesor Asistente
Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica
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Hola.
Bienvenidos a esta nueva clase del curso de Equilibrio ¿Por
qué no se caen las cosas?
En esta oportunidad continuaremos revisando algunos ejercicios de aplicación
de situaciones de equilibrio en dos dimensiones,
donde la idea de momento o este efecto de las
fuerzas que tratan de hacer girar los cuerpos tiene un rol importante.
En esta ocasión revisaremos dos ejercicios donde está aplicado este concepto.
El primero es el que está indicado en esta figura
cuyo enunciado indica que se trata de una barra uniforme AB.
La idea de una barra uniforme significa que la masa a lo largo de la barra
está homogéneamente distribuida, que no está concentrada en algún sector.
¿Qué significa eso?
Al final de cuentas en este tipo de problemas es que el peso de la barra AB
yo lo puedo concentrar, para efectos del equilibrio en el centro de la barra.
Eso es algo que utilizaremos en la resolución de este problema.
En este caso, esa barra pesa 60 libras y tiene apoyos deslizantes,
que significa que se apoya en un muro y en el piso, pero que ahí no hay roce.
Por supuesto, si esta barra que tiene peso yo la apoyo en muro y en un piso
que no tiene roce, la barra se cae,
no hay ninguna razón, digamos, para que se mantenga en esa posición, sin roce.
Por lo tanto, existe un elemento adicional en este caso, un cable AC
que está fijo en el punto A, o sea, está amarrada la barra al cable en el punto A.
Y ese cable está fijo al muro a través de algún tipo de conexión en C.
Entonces en C lo que tenemos es la presencia de una rótula fija en este caso.
Ahora, ¿Cómo resolvemos este tipo de problemas?
O sea, en este problema se consulta cuál es la fuerza a lo largo del cable AC
y cuáles son las reacciones de apoyo,
o sea, cuál es la fuerza que la barra transmite al muro y al piso en la base.
Bueno, en este tipo de problemas y en todos los que hemos estado viendo
últimamente, la idea de diagrama de cuerpo libre es la más importante.
En este caso es natural aislar a la barra AB
y ver cuáles son todas las fuerzas que están actuando sobre esa barra.
En este caso, si yo aislo la barra AB, sobre esa barra actúa su peso propio,
las 60 libras en el centro de la barra actuando hacia abajo.
Además, tengo reacciones de apoyo tanto en B como en
A que son perpendiculares al contacto de la barra con el muro y con el piso.
Y por último, tengo la tensión, que es desconocida por cierto, en el cable AC.
Este caso ustedes ven bastante simple.
El peso es conocido, 60.
Las reacciones de apoyo,
la horizontal y la vertical son desconocidas, dos incógnitas.
Y la tensión en el cable AC me da origen a la tercera incógnita.
¿Qué ecuaciones tengo a mi haber para poder resolver este problema?
Las clásicas ecuaciones de equilibrio que you hemos planteado antes.
Sumatoria de fuerzas a lo largo del eje vertical, igual a cero.
Sumatoria de fuerzas a lo largo del eje horizontal, igual a cero.
Y la que se ha agregado recientemente es la idea de que la suma de momentos tiene
que ser cero, de manera de que la barra AB no esté ni desplazándose lateralmente,
ni verticalmente ni tampoco esté girando, sino que esté en perfecto equilibrio.
El segundo problema que vamos a resolver es este,
un poquitito más complejo que corresponde a una viga, a un elemento horizontal.
Pues me refiero a una tabla de madera, una viga de acero,
sobre la cual está caminando una persona, como la que está indicado acá.
Esta viga de color naranjo o marrón, tiene unos apoyos,
esa es la parte que sea más simple de explicar.
En los puntos A y O hay dos apoyos de los que you hemos visto en clases anteriores.
En el punto O se encuentra una rótula fija, este
tipo de unión que impide el movimiento vertical y horizontal de ese punto.
Mientras que en el punto A hay un apoyo simple deslizante.
Que solamente impide que la barra o la viga baje,
por lo tanto ahí solamente se generaría una reacción en sentido vertical.
Además tenemos que la persona está caminando por encima de esta barra.
Pesa 120 libras,
pero además hay un sistema de poleas que hace un poquitito más complejo.
Este problema está construido solamente para repasar y reforzar la idea de
diagrama de cuerpo libre.
Entonces tenemos la persona de 120 libras, que está ejerciendo una fuerza de
tantas libras, digamos 40 en este caso, sobre el cual está tirando de ese cable.
Y la viga además tiene un peso de 200 libras.
Acá lo importante, tal como hemos visto en problemas anteriores de cables que pasan
por poleas sin roce.
Es que acá la tensión que la persona aplica sobre ese cable,
esa tensión viaja a lo largo del cable sin ningún tipo de pérdida, está tirante,
está con la misma tensión a lo largo de toda su longitud.
Por lo tanto, esa fuerza de 40 libras en el tramo diagonal se mantiene en el
tramo vertical que sigue, en el horizontal que sigue,
y en el vertical que vuelve a la viga.
Entonces, nuevamente acá el concepto más importante o la idea más
importante es la de cuerpo libre.
Cuando aislemos a la viga, al elemento naranjo que está ahí,
vamos a tener que identificar todas las fuerzas que están actuando sobre ella.
En este caso las incógnitas son principalmente las reacciones de apoyo,
la vertical en A, la vertical en O, la horizontal en O.
Ahí tenemos nuestras tres incógnitas.
Y tenemos una serie de fuerzas que están actuando sobre ella.
El peso de la persona, el peso de la viga misma y además la fuerza del cable que you
veremos en la resolución de este problema cómo es que afecta al comportamiento y al
equilibrio de la viga.
Bueno, en este problema lo que se nos pide es analizar la situación de equilibrio
del sistema.
Que acá se señala, donde hay una barra de masa uniformemente distribuida AB,
que está apoyada en un muro y en un piso sin roce,
por eso se habla de apoyo deslizante.
Y además está la presencia de este cable AC.
Solamente como conversación inicial.
Si este AC no existiera, y dado a que esta barra tiene un peso,
y estos apoyos son lisos en verdad, sin el cable esto se caería al suelo,
no tiene posibilidad de equilibrarse.
Por eso es necesaria la presencia de algo externo, en este caso este cable AC.
Miremos el diagrama de cuerpo libre de la barra AB.
Es más o menos una barra inclinada de esa manera.
Y sobre esa barra actúan una serie de fuerzas.
En primer lugar actúa su propio peso, que lo tira hacia abajo.
Ese peso lo podemos concentrar al centro de la barra,
dado que la barra es uniforme y vale 60 libras.
Además la parte inferior está apoyada en el piso.
El piso impide, por supuesto, que este punto se vaya hacia abajo con una reacción
que voy a llamar vertical en A, dado a que no hay roce, no hay fuerza horizontal.
Similarmente en el punto B hay una incógnita o una reacción incógnita,
llamémosla HB, y no hay reacción vertical pues no hay roce.
Y finalmente tenemos la fuerza en el cable que también es desconocida, T.
Ustedes miran el diagrama de cuerpo libre de esa barra,
identifican que hay tres incógnitas T, VA y HB, y como en todos los problemas
bidimensionales de cuerpos en equilibrio tenemos tres ecuaciones a plantear.
Suma de fuerzas verticales, fuerzas horizontales y momento,
y eso es lo que haremos a continuación.
Pero antes, déjenme escribir los ángulos que me van a permitir
avanzar un poco más rápido en la resolución del problema.
En particular voy a anotar acá el valor de alfa que es la inclinación de la barra.
Y el valor de beta, que es la inclinación del cable.
Todo está dado para poder determinar esos ángulos sin mayor dificultad.
El valor de alfa lo puedo determinar como el arcotangente de tres sobre cuatro,
mientras que beta lo puedo determinar como el arcotangente de
4,5 sobre cuatro.
Eso da como resultado los ángulos de 36,9 y 48,4 grados.
Ahora, es momento de plantear las ecuaciones de equilibrio,
escribamos sumatoria de fuerzas en sentido vertical igual a cero,
de manera que la barra esté en equilibrio en movimiento vertical.
Mirando las fuerzas involucradas, HB no participan en esa ecuación,
solamente participan T, 60 y BA.
Y ustedes pueden ver que la fuerza de 60 o el peso tiene que ser equilibrado.
Por una combinación de B sub a más la componente vertical de T,
T por seno de beta.
Similarmente a sentido horizontal, bueno en sentido
horizontal, BA y 60 no participan porque son puramente verticales,
y obtenemos que T por el coseno de beta, que es la
componente horizontal que apunta hacia la derecha, tiene que ser igual a HB.
Y, finalmente me queda la ecuación de momentos, que en este caso es conveniente
de plantear en relación al punto A, porque al hacerlo de esa manera dos incógnitas,
T y BA, pasan por A y, por lo tanto, no participan de la ecuación,
la ecuación me queda directamente lista para despejar HB.
Eso es lo que haré.
Voy a plantear la sumatoria de momentos en torno a A igual a cero para determinar
directamente HB, y eso me indica que 60 por
la distancia, esto son cuatro pies por en el centro el brazo es de dos.
Eso da un momento en ese sentido en relación a A, tiene que ser igual a HB
multiplicado por tres, que es la distancia entre la reacción horizontal.
Acá está en estos tres pies en relación al punto A,
y eso es un momento que va en la otra dirección.
De manera inmediata esto me da como resultado que HB es igual a 40 libras.
Conociendo el valor de HB puedo ir a esta segunda ecuación, y como conozco beta
inmediatamente determinar T, y T resulta igual a 60,2 libras.
Y finalmente voy a la primera ecuación, conozco T y despejo.
B sub a, la reacción vertical en A, que resulta igual a 14,9 libras.
Bueno, en este problema
se plantea la situación de una persona caminando sobre una viga horizontal.
La viga, que está demostrada acá, tiene un par de apoyos, uno en A y otro en O.
En A se trata de un apoyo deslizante, en O de una rótula fija.
Pero además de eso, la persona que tiene un peso de 120 libras
tira de un cable con una fuerza de 40 libras.
Y este cable pasa por una serie de elementos, una serie de poleas
sin roce que, evidentemente van transfiriendo la carga, y de hecho,
esta misma carga de 40 viaja por este cable, pasa por esta zona vertical.
Horizontal y vuelve a vertical, y se vuelve a aplicar sobre la misma viga.
Y lo que se pide es determinar las reacciones de apoyo en A y en O.
En este tipo de problemas, lo más importante quizás es,
además de identificar apropiadamente el diagrama de cuerpo libre, las fuerzas.
Es ser relativamente ordenado para
no perder de vista todas las fuerzas que están metidas en el problema.
Es natural, en este caso, considerar como
cuerpo a aislar la viga junto con la polea.
Esto no es necesariamente así, se podría haber aislado la viga sola,
pero habría que haber planteado la ecuación de equilibrio de la polea para
poder ver cuál es la fuerza de interacción entre la polea y la viga.
Para evitar ese cálculo adicional es que decido
mirar la viga conjunto viga polea como uno solo.
Entonces este es mi cuerpo que quiero analizar su condición de equilibrio.
En el punto O, que es el extremo derecho enterrado hacia una rótula fija aparecen
dos reacciones desconocidas por el momento, BO y HO.
Adicionalmente en el punto A aparece otra reacción desconocida
que puedo llamar vertical en A, pues se trata de un apoyo deslizante.
Por otra parte, en la polea.
Y esto you lo hemos visto en ejercicios anteriores,
la acción del cable en un caso sin roce se puede representar directamente
por la acción de la cuerda o el cable que rodea la polea.
En este caso se trata de una fuerza inclinada de 40 libras,
y también la componente vertical del otro tramo que sale de la polea de 40 libras.
Adicionalmente en este punto, que es donde da la vuelta el cable,
también se genera una fuerza, pero en este caso hacia abajo de 40 libras,
dado a que el cable está con una tensión uniforme.
En adición a estas fuerzas aparecen dos más.
Una, es el peso de la persona que estará ubicado por acá, la persona pesa 120
libras y, adicionalmente, está el peso de la viga que pesa 200 libras.
Al ser una viga uniforme, su peso lo podemos concentrar al centro,
lo voy a dibujar aproximadamente acá.
Con eso hemos completado todas las fuerzas que están actuando sobre la viga.
Lo que me queda es marcar un poco las distancias para que sea más fácil
luego escribir la ecuaciones, principalmente las de momento.
Entonces lo que voy a hacer es eso,
voy a marcar acá algunas distancias para que las tengamos en mente.
Evidentemente mi figura no está hecho a escala, no está hecha de manera perfecta
pero está hecha de manera suficiente para poder anotar estas distancias.
Entonces, sabemos que acá hay dos pies entre estos dos puntos
que están indicados ahí, entre el extremo del cable y la persona a la que,
acá va a haber cuatro pies y acá va dos pies.
Aparecen dos pies adicionales.
La viga tiene una longitud total de seis más dos más dos, o sea, 10 pies.
Por lo tanto, su propio peso está ubicada en los cinco pies,
entonces acá en el fondo de estas 200 libras hay que agregarle un
pie para llegar a los cinco, llegar al centro de la viga.
Luego entre BA y BO hay dos pies.
Y finalmente para completar el total de 10, acá tenemos dos, cuatro, seis, siete.
Acá aparecen tres pies.
De nuevo, nada muy particular solamente identificar apropiadamente las distancias.
Una vez que tengo identificadas las fuerzas y su ubicación de manera correcta
es momento de aplicar la ecuaciones de sumas de fuerzas verticales,
horizontales y de momentos, sin antes determinar o escribir ese angulito,
porque voy a necesitar proyectar fuerza inclinada de 40.
Ese ángulo alfa se puede determinar sin mucha complicación.
En el enunciado que ustedes vieron en la presentación faltaba un pequeño dato.
Y es que esta altura que está acá, que va en verdad al brazo de la persona,
es de dos pies.
Con eso es posible determinar este ángulo alfa que es el arcotangete
de dos sobre cuatro, da un dato y vale 26,6 grados.
Una vez que tengo identificado todo es solo
un tema de escribir las ecuaciones apropiadas.
Por ejemplo, si lo vemos por el lado de sumatoria de fuerzas verticales igual
a cero identificamos que todas, salvo H sub cero, aportan a esa ecuación.
Y tenemos, partamos de izquierda a derecha para ser ordenados,
40 por el seno de alfa que apunta hacia arriba menos 40,
que corresponde a este que está acá, menos otra vez cuarenta
menos 120 menos 200.
Más B sub a más B sub o, o B sub cero, tienen que sumar cero.
Entonces lo que he hechos es tomar todas las componentes que correspondan
del que actúan sobre la viga,
componentes verticales tengo 40 seno de alfa, 40 para abajo.
Signo negativo para todo lo que apunta hacia abajo,
signo para lo que apunta hacia arriba.
En sentido horizontal puedo hacer algo parecido pero es mucho más sencillo
porque en el sentido horizontal solo tengo dos fuerzas,
la horizontal en O y la proyección horizontal de esa fuerza de 40.
Por lo tengo que 40 por el coseno de alfa más H sub o,
o H sub cero tiene que ser igual a cero.
Y por último es hacer sumatorias de momentos en torno a algún punto que sea
conveniente.
En este caso, tal como en situaciones anteriores parece conveniente tomar
momento en torno a punto por el cual pasen bastantes incógnitas,
como el punto O que está señalado.
Y eso es justamente lo que voy a hacer,
voy a hacer sumatoria de momento en torno a O igual a cero.
Y acá solo se trata de ir de manera ordenada,
considerando los momentos involucrados.
Vemos que B sub a tiene un brazo de dos pies con respecto a O,
por lo tanto tengo B sub a por dos, ejerciendo momento en sentido horario.
Luego tengo la fuerza de 200,
que ejerce un momento en la otra dirección menos 200 por la distancia,
que son cinco pies, y la ecuación en negativo porque va para el otro lado.
Luego tengo la fuerza de 120 que va en la misma dirección de 200.
120 por la distancia que son tres más dos más uno,
o sea, seis pies, va con signo negativo.
Luego viene la fuerza de 40, que también es negativo el momento que hace
y la distancia es mayor, son ocho pies, en esa dirección.
Me faltan, además, 40 y la componente vertical de ese 40 que está acá.
Eso lo voy a continuar un poco más abajo para no abusar del espacio.
Me queda menos 40 multiplicado por 10, que correspondería al momento de esa fuerza.
Y menos 40 por el seno de alfa, también multiplicado por 10.
Todo eso tiene que sumar cero
para evitar que la viga esté girando de manera indefinida respecto a O.
La gracia de esta ecuación que está acá es que me permite determinar inmediatamente
cuál es el valor de B sub a, la reacción vertical en A.
Ese número resulta ser 1130,4 libra fuerza.
Una vez que tengo B sub a, ese valor lo puedo ocupar en la primera ecuación para
determinar B sub cero, o B sub O, lo cual en este caso
termina siendo menos 748,3 libras fuerza.
El signo negativo en B sub cero significa que la reacción en B sub cero,
en verdad, no va hacia arriba sino que debe ir hacia abajo.
Y por último el valor de H sub cero, que lo puedo determinar en verdad directamente
de esa ecuación que está ahí, la segunda que es menos 40 coseno de alfa es
directamente menos 35,8 libras fuerza.
Entonces, posiblemente la mayor dificultad en el problema sea la construcción
correcta del diagrama de cuerpo libre y la
apropiada identificación de las distancias.
Una vez que eso está concluído.
Solo es un tema de ser relativamente ordenado para plantear toda las ecuaciones
de equilibrio que tenemos a nuestra disposición.
