Hola de nuevo.

El tema de esta semana ha sido velocidad instantánea.

you hemos pasado por tres métodos, el método gráfico,

el método de aproximación numérica, y el método analítico.

En esta ocasión vamos a calcular la

velocidad instantánea, pero a partir de derivadas,

eh, bueno, hemos estado derivando realmente solo

que ahora lo vamos a hacer con

fórmulas, y además, vamos a explorar algunos

conceptos como el de aceleración que también se

puede considerar como una razón en sintonía de

cambio pero de velocidad no de la posición.

Vamos al ejercicio.

Vamos a cerrar ahora aprovechando unas técnicas que se,

normalmente se aprenden en los cursos de, de matemáticas

pero nosotros hemos estado aprovechando mucho las matemáticas, la

herramienta del cálculo diferencial para poder estar modelando problemas,

eh, y situaciones de cinemática. Bien.

Tenemos un ejercicio en el que vamos a aplicar las

reglas de derivadas para resolver algunos ejercicios.

Entonces, nos dan una función de posición, eh, de una partícula, y esta función de

posición es menos 1.00 t cuadrada más 2.00 t y menos 3.00 metros.

Y entonces, nos piden, eh, como primer ejercicio nos

piden determinar la función de velocidad de la partícula.

Entonces, you vimos en las clases de teoría que la

velocidad de una partícula, matemáticamente,

eh, la habíamos definido muy formalmente

por medio de una, eh, por medio de un límite, pero

se puede simplificar diciendo que es la derivada de la función

de posición con respecto al tiempo.

Entonces, en este caso como nos dan la función de

posición, lo que podemos hacer es derivar utilizando las reglas.

Y como vieron en sus clases de teoría, tenemos que, las reglas para

las funciones como esta, en la que las, eh, la variable independiente, que

en este caso es el tiempo, está elevada a potencias, eh, a cualquier

potencia real, la regla que podemos

utilizar es tomar ese exponente y multiplicarlo

por la constante que se ve justo como coeficiente de esa variable independiente.

y a ese exponente le vamos a restar 1. Entonces, ¿qué tenemos aquí?

Tenemos un 2 multiplicado por negativo 1.00.

Esto nos va a dar menos 2 punto 00, y ahora

la variable independiente, le vamos a restar, eh, 1 al exponente.

Cómo el exponente originalmente era 2, ahora el exponente va a ser, eh, 1.

Voy a escribir, eh, todo.

Voy a escribir 2 menos 1. Okay, más el siguiente término.

El siguiente término, tenemos una t, que aunque

no muestra una exponente, el exponente es 1.

Entonces ese 1, sabemos que va a pasar multiplicando aquí al 2, lo cual nos

va dar un más 2.00, pero la t, ahora, se le va a restar un 1.

Entonces, vamos a tener una t a la 0. Y por último, aquí tenemos una

constante, pero you sabemos como derivada significa razón instantánea

de cambio, pues, algo que no cambia, pues, la razón de cambio es igual a 0.

Por lo tanto, la derivada de un constante es 0.

Y esa es una de muchas explicaciones que podemos dar que la derivada de

una constante es igual a 0. Bien, pues nuestra solución, finalmente es

que la velocidad es menos 2.00 t más 2.00, porque t elevado a la potencia 0

y cualquier otra cantidad, eh, diferente de 0 que esté

elevado a la potencia 0 va a ser igual a 1.

Y por supuesto, las unidades deben ser metros entre segundos.

Noten que de acuerdo a la notación que estamos utilizando y

la definición de derivada, la definición formal que vimos en un ejercicio

anterior, pues nos queda una división de la cantidad, una cantidad

de la dimensión longitud entre una cantidad de la dimensión de tiempo.

Bien. Pues esta es la función

de velocidad.

Ahora, el siguiente ejercicio dice que calculemos

la velocidad en el instante 2 segundos.

pues, aprovechando que you tenemos una función de velocidad, noten

como esta es la función de velocidad para todo instante

de tiempo, lo único que tenemos que hacer es sustituir

en el tiempo el instante 2 para nuestra función de velocidad.

you no necesitamos volver hacer la derivada porque you tenemos una función

que nos va a dar la velocidad en cualquier instante de tiempo.

Así que hacemos el cálculo menos 2 por 2 es menos 4, y más 2 nos

va a dar menos 2.00 metros entre segundos. O sea que

tenemos la función evaluada en 2 segundos.

El inciso (c) nos pregunta que ¿Cuándo esta partícula va a estar en reposo?

Bueno.

El hecho de que una partícula está en reposo significa que su velocidad,

es que lo voy a escribir de esa manera, la velocidad, en algún instante de tiempo,

debe ser igual a 0. Así que, aquí lo que buscamos es que

nuestra función de velocidad, que es menos 2.00 t más 2.00, sea igual a 0.

Entonces si lo establecemos de esta manera, aquí lo que estamos buscando, es

el instante de tiempo para el cual se cumple que la velocidad sea igual

a cero.

Tengan mucho cuidado, no confundan esto con la velocidad inicial.

Mucha gente erróneamente simplemente sustituye un 0 para la t.

Pero sustituir un 0 para la t significaría evaluar la velocidad en un instante 0,

lo que nos daría la velocidad inicial y no, no es eso lo que buscamos.

Lo que buscamos es el instante para el cual se cumple esto,

para lo cual se cumple que la velocidad sea igual a 0.

Entonces, haciendo un despeje,

Tenemos que ese, eh,

2, vamos a verlo ahora, al otro lado, y en total vamos a tener que

el tiempo es menos 2 .00 entre menos 2.00, por supuesto que nos

debe quedar en segundos y esto, entonces, ocurre en el instante 1.00 segundos.

¿Sí?

Si quieren comprobar si es correcto su respuesta,

pues, lo que pueden hacer es evaluar la

función en el instante 1.00, la función de velocidad,

por supuesto, y chequear si, efectivamente su velocidad

es 0, lo cual en este caso es correcto.

Muy bien.

Ahora nos piden que calculemos o determinemos

la función de aceleración de la partícula.

Y pues, nuevamente, la aceleración, eh, por la definición que

se nos dio en las clases de teor, de teoría,

la aceleración es la razón instantánea de

cambio de la velocidad que escrita matemáticamente,

pues equivale decir que es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.

Así que, esa derivada de la velocidad, sí, aquí lo voy

a escribir como la derivada con respecto al tiempo, vean, voy a

escribir toda la expresión de la velocidad no he, no hemos hecho

todo la derivada todavía, Tenemos que hacer la derivada de esto, ¿sí?

De todo

esto que está encerrado en este paréntesis.

Entonces, el primer término es menos 2.00 t.

Como t está elevado a la 1, ese 1 pasa multiplicando y

se le resta 1 y va a ocurrir como nos pasó en

el primer ejercicio, que nos va quedar únicamente, 2.00 como en la

derivada de ese primer término; y el segundo término es una constante.

Por lo tanto, el segundo término, su derivada va a ser 0 y esto, por supuesto,

como es una división, de acuerdo a la definición de derivadas,

sería una división de la dimensión

longitud entre tiempo entre dimensión tiempo.

El resultado tendría dimensión de longitud entre tiempo entre tiempo, que en unidades

del sistema internacional nos daría unas, eh,

unidades de metro entre segundo al cuadrado.

Entonces, escribiendo la función de aceleración

que depende del tiempo, esa función es 2.00 metros entre segundo al cuadrado.

Noten que en este caso en particular, la aceleración es una constante, que es la

constante de menos 2.00 metros entre segundo al

cuadrado Muy bien, ahora dice: Calcula la aceleración

de la partícula en el instante 2.00 segundos.

O sea, en la notación de funciones, debemos, eh, escribir a entre paréntesis

2.00 dando a entender que es la aceleración evaluada en 2.00.

Pero nuestra función de aceleración es la función menos 2.00.

No hay tez, hay, noten que es una constante.

Por lo tanto, no importa en qué instante

evaluemos esa aceleración, el resultado va a ser siempre

menos 2.00 metros entre segundos al cuadrado.

Por lo tanto, la respuesta es de esa forma.

Si la aceleración hubiera tenido una t involucrada allí, es

decir, si hubiera dependido del tiempo, pues habríamos que haber

tenido que hacer las operaciones necesarias como cuando evaluamos la

función velocidad para encontrar la velocidad en el instante 2.

Y por último, otra pregunta que, pues también

parece redundante, ¿Cuándo tiene aceleración cero la partícula?

Pues, tendríamos que hacer lo mismo que hicimos

para la pregunta que nos hicimos de cuándo es

la velocidad 0, pero en este caso tomando

en cuenta cuándo es la aceleración igual a 0.

Pero, como la aceleración es constante, y es la

constante de menos 2.00 metros entre segundo al cuadrado,

eso nunca, nunca va a ser 0. No al menos dentro de la información que

nos dan para esta función de, de posición, que nos dan en la redacción del ejercicio.

Entonces, la respuesta para este caso es que la

aceleración nunca va a ser 0 en esta situación.

Okay?

Una nota adicional acerca del uso de las reglas de las derivadas eh,

es importante que, aunque en este curso, siguemos la fórmula para derivar

seno, coseno, tangente, eh, la función

exponencial, la función logaritmo, es importante que

entiendan que cuando vean funciones como, de esta forma, por ejemplo, la función

exponencial con argumento t multiplicado por el coseno de t, o bien

un cociente entre otras dos funciones, vamos a pensar seno de

t entre 1 más coseno de t.

Algo como esto, o este otro ejemplo también sería

bueno, seno de t cuadrada en donde el argumento no

es simplemente una t, siempre que halla productos de

funciones de t, divisiones entre funciones de t, o funciones

que no son estrictamente de t, sino que son de una función a

su vez, una función de t, los llamamos funciones compuestas en las matemáticas.

Hay que tener mucho cuidado.

Eh, no hay que usar las reglas directamente.

Para poder saber qué reglas se utilizan aquí, consulten las reglas

del producto, las reglas del cociente, y las reglas de la cadena.

No son parte de este curso.

Cuando en este curso nosotros, eh, pedimos que

resuelvan ejercicios en los que hay funciones de

esta forma o parecidas si de tal manera

que hay expresiones de t multiplicando y dividiendo,

o dentro de las funciones como compuestas, en

ese caso, nosotros esperamos que utilicen el método

de aproximación numérica que fue expuesta en uno

de los ejercicios de ejemplo de esta semana.

Bueno, pues estos fueron algunos

ejemplos de como utilizar las derivadas, eh, para

calcular velocidades y relacionar, em, eh, la velocidad con la aceleración o

la velocidad con la posición de una partícula sin necesidad de utilizar, eh,

métodos numéricos, sino que podemos recurrir

directamente a las fórmulas de derivadas Hasta

la próxima.

Velocidad y aceleración usando fórmulas de derivadas

Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria

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