大家好,我們現在要準備進入這一講的
第四節,那麼在前一節裏面呢,我們跟跟各位介紹了透過光電效應呢,愛因斯坦說服大家 光好像應該是一種粒子的存在。
但如果還記得我們在前面第四講的時候提到過電磁波 麥克斯韋透過把電跟磁結合起來告訴大家說,哎,光應該是一種波動
這個在20世紀的初期呢,對於科學家們造成一個很大的困擾
因為電磁波已經受到很多實驗的驗證,大家覺得光應該是一個 波動吧,那愛因斯坦又透過很強的實驗跟理論的結合,告訴大家光應該也是一個粒子
所以到底光是波動還是粒子呢?我們在這一節裡面會跟各位介紹一個 全新的概念叫做光可能也是波動,也是粒子
那麼跟著這樣子的概念呢,在二十世紀初呢有一位科學家提出來所謂測不准原理的概念
所以我們這一節呢就跟各位介紹這兩個,在20世紀初扮演非常重要,在量子力學裡面非常重- 要的概念
我們先簡單回顧一下,到底歷史上對於光是粒子還是波動
有哪些代表性的說法,而且它們在歷史上其實反反復復好幾次
所以呢在一開始我們提到是在17世紀的時候呢,牛頓透過棱鏡分光的這個實驗呢
他認為光應該是一個粒子,那麼因為牛頓的學術地位非常崇高呢,所以他認為光是粒子這個概- 念在科學界
留存了大概一百多年,都是主流 那但是在19世紀初呢,Thomas
Young透過雙狹縫干涉的 實驗呢,提出一個很強的實驗證明說,光應該是個波動
而到了19世紀中葉呢,麥克斯韋把電跟磁的理論結合起來的時候告訴大家,哎,有一個電磁波
躲在這個電磁方程式裡面,所以呢把這個理論呢跟前面的
實驗結合在一起之後呢,到了19世紀下半葉呢,大部分的科學家就相信 光的本質應該是一種波動。
但是如同前一節所說的,到了 20世紀初的時候呢,透過光電效應這樣的實驗,透過愛因斯坦的解釋
愛因斯坦又說,光應該是一種粒子,所以這個時代的科學家變得非常非常的困惑
到底是波動還是一個粒子呢?那麼這兩個
理論,不管是波動理論或是粒子理論,都有實驗,也都有相關的理論 來陳述它們。
所以這兩個看起來好像 互相矛盾的概念,會不會有可能其實是世界的真相呢?就是這兩個其實是同一樣
一起存在的,這個就是法國物理學家
德布羅意,他在1924年的博士論文中呢所提出的概念 就是所謂的波動粒子共存性。
他認為呢,所有的微觀粒子,不止是光哦 所有的微觀粒子,都具有波動,或者是粒子的特性
至於你到底會看到波動特性還是粒子特性呢,則單看你用哪一種 觀察的方式。
那麼他也因為提出這個理論呢,獲得1929年的諾貝爾物理獎 所以我們可以來想想看這件事情,到底什麼叫做
兩者並存,波動粒子並存的這樣一個特性 我們來想想看這件事情,如果人,我們看人來說,人每個人都有正面跟背面的差別
可是如果你只看到這個人的背面,你永遠也不會知道他正面長什麼樣子 但是你也不能因此推論說這個人沒有正面
譬如說我們做一個很神奇的想象說,假如說有一種外星人觀察地球人的方式是它一次只有辦法- 看到人的一面
那如果這個外星人它永遠只看到人的背面的話,外星人就會推論說,啊,這個地球人呢這個頭- 部呢是一個長滿毛的球體
那或者說如果外星人只看到人的正面的話,它就說,這是地球人的
頭部呢是一個光滑的表面呢有一些凹凹凸凸的眼睛鼻子嘴巴這些器官
所以,你可以這樣想象說,在沒有辦法同時觀察到兩面的情況之下呢 你很難想象這兩面同時存在。
所以每次講到 這一段話呢,就會讓我想到在佛教裡面有一段,有一段
話叫做,佛說般若波羅密,既非般若波羅密,是名般若波羅密,這個
很適合來描述光的一個本質的現象 那可是這件事情呢,在所謂的波動
粒子共存的概念呢,在一般人的概念裡面是非常非常難理解的,為什麼呢? 我們這樣來看看這個事情。
我們知道對於波動概念 來說,前面提過最直觀的證明大概就是雙狹縫干涉這個實驗
而所謂粒子的概念呢,我們生活中非常多看到,譬如說像一個網球,我們認為這個可以是一個- 像粒子一樣
的東西,所以,如果我們拿生活中看得到的網球
對著兩扇打開的門隨即丟過去,那麼所謂的粒子特性的意思就是
哎,你可以想象,我如果隨機一直丟丟丟,丟很多顆網球,最後呢會在這個門後面呢累積
很多顆網球,那我如果隨機丟的話,有些走左邊的門,有些走右邊的門 那最後呢兩扇門後面呢應該會累積出一樣多的網球堆來,這個叫做粒子特性
可是,如果它有波動性的話,就是我們假裝網球具有波動性,那是什麼意思呢
那就是我如果拿很多顆網球對著兩扇並排打開的門一直丟丟丟,隨即丟過去的話呢
最後在門後面累積出來的呢是一個干涉條紋 而且干涉條紋的中間,最多球的地方呢,可能是兩扇門中間的墻壁,就是沒有開門的地方
這個事情是完全完全違反生活中直觀的想象的
這個就是為什麼量子力學,一般來說不太容易被大眾所 接受,因為這個實在跟我們的生活中直觀的概念的想象差別太大了
那麼不過呢,德布羅意告訴我們說,這個現象呢事實上跟日常生活並不矛盾
如果真的是網球的話呢,他說你應該看不到波動的效應,為什麼呢? 因為這些特性呢必須要在非常非常小的微觀粒子上才看得見。
我們在這裡呢舉個例子,先從光 這個概念來想。
我們在前面說過呢 光子的能量,就是量子力學的基礎呢建立在這個光的能量上面,所以光的能量呢是E=hν
這樣的大小。
而從上一講裡面呢,我們有提到過說,在相對論裡面的能量
呢跟動量呢可以透過這個E²等於mc²的平方加上pc平方這個方程式連接在一起
對對於光子的情況來說呢,它的靜止質量呢是0
因此呢我們可以把它演化成說,動量呢呢就等於是能量除以光速這樣的一個情況
這樣子一來,我們把上下這兩個能量跟動量的方程式結合在一起之後呢
我們就可以推論,所以光的波長呢應該就是 普朗克常數h再除以這個光子的動量。
也就是說呢 你大致上可以有這個感覺,好像是頻率會決定能量
而動量呢,則會決定波長,這是在光的情況下會成立的事情
那德布羅意告訴我們什麼呢?德布羅意的共性就在於說 他預測除了光子會同時具有波動跟粒子的特性之外呢
其他的微觀粒子也會有一樣的特性,而且還可以用一樣的方程式來描述,這是他的一個非常大- 膽的猜測 所以我們用電子來當例子。
電子在我們的腦海中的想象 好像是一顆帶電的顆粒,所以它應該是個粒子特性的東西
那麼對於粒子特性的東西呢,從古典物理的概念呢,我們知道動能可以寫成二分之一 mv²
而它的動量呢,就應該是 mv。
那麼透過動能 的這個方程式呢可以知道,mv呢基本上就可以等於根號2mEK這樣的大小
那麼這個是一個粒子的動能跟動量的概念,而德布羅意呢則預測
電子是個微觀的粒子,所以它跟光一樣,也會有波動的特性,而它的波長呢也可以跟光一模一樣
用h除以p這個方程式來描述,這個事情是完全顛覆當時所有一般人的認知的
我們具體用一個數字舉個例子讓各位感覺一下,這些 光也好,電子也好,它們的波長到底是多長。
所以我們先用一個能量是100-eV的光子 來作計算。
那麼從上一頁我們知道說,波長呢是h除以p
所以呢在光子裡面的話呢,p就是E除以c,所以我們可以把
光子的波長呢用hc除以E這樣子的方程式來 算,所以我們把數字代進去之後呢我們就會得到,在這個條件之下呢
光子的波長是大概1.24乘10的-8公尺這樣子的大小,這個大概是12個nanom- eter
的大小,也就是基本上是屬於一個X光的光子,是非常短波長,是我們肉眼看不到的光子
那麼另一方面呢,如果是一個動量是100-eV的電子,它的
波長是多長呢?我們可以一模一樣的用這個λ等於h除以p,然後剛剛說了在
粒子裡面,它的動量是根號2m乘上EK
所以我們把這些方程式呢,把相關的係數呢通通代進去之後我們可以得到
在一個100-eV動能的電子上面,它的波長是大概 1.2乘以10的-10公尺,就是大概是一個
Angstrom,也就是說幾乎是一個原子的大小 比起剛剛的這個光子的波長來說,同樣動能的電子
它的波長比光子要短非常非常多,那麼因此呢,物質波的特性呢
在正常的材料裡面 比如說我們平常看到的能量的尺度,都比這個
100-eV 要大上很多,記得 eV 是大概 10 的 -19 焦耳,所以 100-eV
的動能也不過才 10 的 -17 焦耳這麼小 我們平常看到我們隨便推一顆球,隨便的能量都是大概有
1 焦耳那麼大小能量,所以在這些情況之下呢 如果是一焦耳的能量它會帶有的波長呢會遠比原子小非常非常多,我們根本就沒有辦法觀察得-
到,這是為什麼通常在巨觀 日常生活中碰到的環境之下呢是看不到物質有波動的特性
那麼還記得我們剛剛說波動性最重要的證據基本上就來自於
雙狹縫干涉這樣的實驗,可是我們剛剛簡單算了一下,電子的波長比光還要短
像剛剛這樣子的計算可以說,電子的波長幾乎是原子的大小了 所以我們到底要怎麼做出這麼小的狹縫呢?生活中有沒有間隔距離這麼小
的結構在呢?所以再一次地,科學家呢他的很重要特色就是要很會聯想
既然這個波長已經非常接近原子跟原子之間的距離,是angstrom等級的大小
那麼不如就直接用原子來試試看電子的干涉
這個實驗呢,事實上在非常短波長的電磁波呢 也就是剛才說的X光的實驗,是已經有人做過,也就是用X光,打到
金屬材料上面,然後因為金屬裡面原子呢是整齊地堆疊的,結果呢就會產生一個所謂的布- 拉格繞射 的現象。
那麼這個概念呢並不是很複雜,就像這個示意圖裡面所看到的 如果有一道X光打進晶體的時候呢,就像這邊有一個入射的X光
那麼打進來的時候呢,在上下兩層晶體結構呢,會各自有它的繞射光 所以呢在不同角度,譬如說我們在這個角度看的時候呢
從上下兩層出來的繞射光呢會形成建設性干涉,所以我們在出來的地方呢就會觀察到一個
很強的波峰,但是如果我們在另外一個角度觀察的時候呢,在上下兩層
原子所繞射出來的這個波呢,它們就會形成一個破壞性 干涉,所以在這個地方呢就沒有亮度,這個就叫做所謂的布拉格繞射
那麼布拉格繞射呢,它基本上是可以用來偵測 一般樣本裡面的晶格結構,而發明這個方法的布拉格父子呢,也因此獲得1915年的諾貝-
爾物理獎 然後但是他們做的事情呢是在電磁波
產生布拉格繞射,所以呢在de Broglie提出物質波的
假設三年之後呢,就有兩組團隊分別驗證了 電子也可以在金屬的
晶格中間呢產生相同於布拉格繞射的圖案,而且還可以推論出來 它們的波長呢就是de
Broglie所預測的波長,因此呢,這個讓de Broglie 非常快地在1929年就獲得諾貝爾物理獎,然後這兩個團隊
做出這個實驗驗證的團隊,也在1937年呢獲得諾貝爾物理獎 然後在de
Broglie提出這個物質 波動的二元理論之後呢,可以說對整個物理學界投下了一個非常震撼的一個
消息,也就是說這個等於我們需要一個全新的理論來闡述這些微觀粒子的運動模式
那麼這個這件事情呢在短短兩年之內呢,就由奧地利的物理學家Schrödinger完成
他寫下了下面這個方程式,我們後來就稱為所謂的薛丁格方程式 那麼在這個方程式裡面呢,h
bar就是普朗克常數除以2π,m是這個粒子的質量 這裡面這個Ψ呢,是所謂的波的方程式,那麼到後來呢
大家理解,這個波的方程式事實上是代表這個電子出現的機率函數 那麼這個V呢只是所謂的位能。
這整個方程式呢可以 說奠定了所謂的量子力學的基礎,也就是說透過這個方程式
可以描述電子的波動性,可以描述電子在微觀世界是怎麼運動的。
這個事情呢 是沒辦法用古典的牛頓力學來分析的,因此呢這個才稱之為所謂的量子力學,也就是說,在描-
述量子,非常非常小 的物體,它要怎麼樣運動,怎麼樣受外力,怎麼樣改變
它的位置,怎麼改變它的動量跟能量,因此整件事情呢叫做所謂的量子力學 那麼Schrödinger呢也因為他對量子力學這個基礎
的貢獻呢,在提出方程式之後呢,很快在1933年呢就獲得諾貝爾物理獎 所以我們後面呢稍微來談一下
電子有波動,其實就是一個例子,有波動性呢,可以用哪些應用
那麼一個最簡單直接可以想到應用的大概就是電子顯微鏡,因為我們前面提到
過說,電子的波長呢,同樣的量次下,電子波長遠比光子要小很多
所以呢解析度也會比光呢要好上很多 那麼這個事情呢跟我們前面在第五講講到光的時候的繞射
極限呢是有直接關係的,所以波長越短呢,可以解析出越清楚 的特性來。
那麼發明電子顯微鏡的Ruska呢,他也在1986年呢獲得諾貝爾物理獎
所以你會慢慢發現,越到後面,在20世紀之後的物理發展呢,基本上
透過諾貝爾獎的軌跡,我們就可以對整個近代物理的重要進展呢有所掌握
那麼除了剛剛講到的電子顯微鏡之外呢,波動粒子這個二元說的概念呢
還有一個非常非常重要的引申的含義,從這個地方呢會引申出量子力學另外一個非常基礎 而重要的概念叫測不准原理。
怎麼說呢?讓我們從前面講過的波長跟動量這個方程式開始 從這個方程式裡面呢,如果只有一個波長的話呢
那它就只有一個動量值,也就是說動量的不確定性呢是0 如果我們把波的振幅想象成粒子可以出現的機率,就像我們剛剛說這個波函數
那個裡面的振幅呢,就是這個電子可以出現的機率的話呢 只有一個單一頻率的波呢,理論上會在空間中無止境地一直震蕩下去
所以呢粒子這時候好像可以分佈在這個波的任意的位置,因此這個時候位置的不確定性呢變-
成無限大 所以這個就好像說動量非常確定的時候呢,粒子在哪裡,你就沒辦法確定
可是呢如果你把很多不同的波疊在一起,就是把不同波長的波呢 一直往中間疊,然後它們中間的
peak 是重疊的時候呢,你會發現 這個時候呢,波的中間會越來越高,也就是說在這個地方
中間出現的機率呢會越來越高,產生一個像波包一樣的形狀 那麼這個時候呢,粒子的位置相對來說就比較固定
而這個固定是從哪裡來呢?這個固定是從很多很多不同的波長,就是不同動量
的波把它疊加在一起,於是這個時候呢,動量的不確定性就變大了,所以因為呢在這個裡面呢
動量變得比較不確定,位置呢就因此而 變得越確定。
所以呢整個事情合起來想呢可以感覺到說 好像有一個位置越確定,動量就越不確定
位置越不確定,動量就越確定,這樣子的一個 互補的關係。
那我們在這邊看到呢最後的這個 peak 就是所謂的波包的概念呢,這個呢事實上就像是在普朗克
當初在提量子力學的時候呢想象出來的那一份、 一份,帶著一份份能量
的那個量子的概念,就像這個波包這個地方一樣 所以呢我們剛剛說,從這個整個合起來看,你會覺得說,啊
如果位置越確定,動量好像是越不確定,位置越 不確定,動量就越確定,把這兩個事情結合起來看呢就是所謂的測不准原理
所以呢,這個是由德國的物理學家Heisenberg 他所提出來的。
那麼Heisenberg呢他透過了一些推導之後定量地告訴大家說 位置的不確定性是這個Δx,動量的不確定性呢是這個Δp
這兩個乘起來呢會大於一個常數,這個常數呢就是h除以4π 那麼這個叫做普朗克的測不准原理。
所以你可以把這個方程式呢跟剛剛上一頁的說明連接在一起呢就可以看得懂
位置越準,動量越不准,動量越準,位置越不准,量子的這個概念,這就是所謂的測不准原理
那麼透過Heisenberg努力呢,讓我們知道 傳統上面我們對於粒子的想象呢可以很清楚地定義出一個位置來啦,包括說這個粒子的
路徑啦,它的軌道啊,這些事情,到了微觀的世界裡面,到了量子力學的世界裡面呢 這些路徑啊、
軌道都變得沒有意義,因為它的位置變成一個機率 動量越準確,位置就越不準確
那麼Heisenberg呢因為對於量子力學這些基礎上面的貢獻呢,他也獲得1932年- 諾貝爾物理獎
我們在這個地方呢會有一個示範實驗跟各位說明,怎麼樣
能夠用一個鐳射的繞射的實驗呢,來驗證測不准原理的概念
>> 這是一台532納米的綠光鐳射
鐳射前面放著一個可以調整寬度的單狹縫
從單狹縫到屏幕之間的距離大概是兩公尺
而屏幕上面粘著一把尺是為了之後可以讓你們比較
單狹縫繞射中央條紋寬度,跟利用測不准原理的算出來的寬度作比較
那我們現在調整狹縫的寬度 到 800個
micrometer 你可以看到現在繞射條紋還不是很明顯
我們再把狹縫寬度縮小
現在是700個 micrometer
再進一步縮小
[空白音頻] 現在狹縫寬度是600個 micrometer
再次 現在狹縫寬度是500個
micrometer 所以我們做了四種不同寬度的狹縫
看到了四種不同寬度的繞射條紋,那接下來你們就可以比較
這邊繞射的實驗結果,以及利用測不准原理算出來中央亮紋寬度 的比較。
>> 那麼最後呢邀請各位 想想看這個問題是我們前面講的具有波動性的粒子是非常非常小的,像是電子這樣的粒子
到底多大顆的粒子還會具有波動性呢? 所以這個部分呢可以邀請各位參考一個最近的文獻,那麼裡面會告訴你呢,事實上在一些-
分子裡面 我們現在都可以量到它們的波動的特性
所以在整節的最後呢,留下一個概念 測驗是請問相同動能的光子跟電子,到底哪一個波長比較長呢?
[聲音]